前言
X(s)=∫0∞x(t)e−stdt
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。其有很多定理在自动控制方面有很多的应用，我们现在重点看终值定理。有说得不对的地方欢迎指正.
常见Laplace变换
| f(t) | F(s) |
|---|---|
| δ(t) | 1 |
| 1(t)1(t) | \frac1ss1 |
| tt | \frac1{s^2}s21 |
| e^{-at}e−at | \frac1{s+a}s+a1 |
| te^{-at}te−at | \frac1{(s+a)^2}(s+a)21 |
| \sin(wt)sin(wt) | \frac w{s^2+w^2}s2+w2w |
| \cos(wt)cos(wt) | \frac s{s^2+w^2}s2+w2s |
| t^ntn | \frac{n!}{s^{n+1}}sn+1n! |
| t^ne^{-at}tne−at | \frac{n!}{(s+a)^{n+1}}(s+a)n+1n! |
终值定理
简单用一个公式表示就是
$\lim_{t\rightarrow\infty}f(t)=\underset{s\rightarrow0}{\lim s}F(s)$
推导过程
$\begin{array}{l}\lim_{s\rightarrow0}\int_{0_-}^\infty\frac{\operatorname df(t)}{\operatorname dt}e^{-st}\operatorname dt=\lim_{s\rightarrow0}sF(s)-f(0_-)\\\end{array}$
等式左边有
$\begin{array}{l}\lim_{s\rightarrow0}\int_{0_-}^\infty\frac{\operatorname df(t)}{\operatorname dt}e^{-st}\operatorname dt=\int_{0_-}^\infty\operatorname df(t)=f(\infty)-f(0_-)\\\end{array}$
$\begin{array}{l}f(\infty)-f(0_-)=\lim_{s\rightarrow0}sF(s)-f(0_-)\\\end{array}$
$\begin{array}{l}\lim_{s\rightarrow0}sF(s)=f(\infty)\\\end{array}$
求稳态误差
适用条件 先判稳，极点均位于复平面左半平面，坐标原点处也可以有唯一的极点 $sin(t),cos(t)$不能使用,可以用定义法
$e_{ssr}=\lim_{t\rightarrow\infty}e_r(t)=\lim_{s\rightarrow0}s\frac{E_r(s)}{R(s)}R(s)$
$e_{ssn}=\lim_{t\rightarrow\infty}e_n(t)=\lim_{s\rightarrow0}s\frac{E_n(s)}{N(s)}N(s)$
$e_{ss}=e_{ssr}+e_{ssn}$
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